Question

Cho hbh ABCD , E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD. AC cắt BD tại O , AF,CE cắt BD tại M vf N a, CM : AF =CE b, CM : AMCN là hbh c, CM : DM=MN=NB d, CM : BD , AC,EF đồng quy

Answer 1

a: Ta có: \(AE=BE=\dfrac{AB}{2}\)

\(CF=FD=\dfrac{CD}{2}\)
mà AB=CD

nên AE=BE=CF=FD

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

=>AF//CE

b: Ta có: AECF là hình bình hành

=>\(\widehat{EAF}=\widehat{ECF}\)

Ta có: \(\widehat{BAF}+\widehat{DAF}=\widehat{BAD}\)

\(\widehat{ECD}+\widehat{ECB}=\widehat{BCD}\)

mà \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) và \(\widehat{BAF}=\widehat{ECD}\)

nên \(\widehat{DAF}=\widehat{BCE}\)

Xét ΔADM và ΔCBN có

\(\widehat{ADM}=\widehat{CBN}\)(AD//CB)

AD=CB

\(\widehat{DAM}=\widehat{BCN}\)

Do đó: ΔADM=ΔCBN

=>AM=CN

Xét tứ giac AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

c: Xét ΔDNC có

F là trung điểm của DC

FM//NC

Do đó: M là trung điểm của DN

=>DM=MN(1)

Xét ΔABM có

E là trung điểm của BA

EN//AM

Do đó: N là trung điểm của BM

=>BN=NM(2)

Từ (1),(2) suy ra DM=MN=NB

d: ta có: AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(3)

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(4)

Từ (3),(4) suy ra AC,EF,BD đồng quy