Question

cho hàm số y=x^3-6x^2+9x. Tìm m để đường thẳng y=mx cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt O,A,B. Chứng tỏ khi m thay đổi, trung điểm I của đoạn AB luôn nằm trên 1 đường thẳng song song với Oy

Answer 1

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^3-6x^2+9x=mx\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-6x+9-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-6x+9-m=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác 0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9-m\ne0\\\Delta'=9-\left(9-m\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m\ne9\end{matrix}\right.\)

Khi đó hoành độ A, B là nghiệm của (1) nên theo hệ thức Viet: 

\(x_A+x_B=6\Rightarrow x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=3\)

\(\Rightarrow\) I luôn nằm trên đường thẳng song song Oy có pt: \(x-3=0\)