Question

Cho hàm số `y=f(x)=x^3 +2022x`. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m  để phương trình `f(2m-sinx cosx -cos^2 x)+f(2sin^2x-3m)=0` có nghiệm

Answer 1

Nhận xét 2 điều đơn giản:

1. \(f\left(x\right)\) đồng biến trên R (đạo hàm thấy ngay)

2. \(f\left(x\right)\) là hàm lẻ (thay -x thấy ngay)

Dẫn tới \(-f\left(x\right)=f\left(-x\right)\)

Do đó ta có:

\(f\left(2sin^2x-3m\right)=-f\left(2m-sinx.cosx-cos^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow f\left(2sin^2x-3m\right)=f\left(cos^2x+sinx.cosx-2m\right)\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-3m=cos^2x+sinx.cosx-2m\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-cos^2x-sinx.cosx=m\)

\(\Leftrightarrow1-3cos2x-sin2x=2m\)

Do \(-\sqrt{10}\le3cos2x+sin2x\le\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le\dfrac{1+\sqrt{10}}{2}\)