Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − m 2 − 2 x + m 2 có đồ thị là đường cong C . Biết rằng các số thực m 1 ; m 2 của tham số m để hai điểm cực trị của C và giao điểm của C với trục hoành tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật. Tính T = m 1 4 + m 2 4
A. T = 22 − 12 2
B. T = 11 − 6 2
C. T = 3 2 − 2 2
D. T = 15 − 6 2 2
Đáp án B
Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x − m 2 + 2
Lấy y y ' thì phần dư ta được PT đường thẳng qua các điểm cực trị là:
y = 2 3 x m 2 + 1 + 2 m 2 + 2 3
Phương trình hoành độ giao điểm là: x 3 − 3 x 2 − m 2 − 2 x + m 2 = 0 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 2 x − m 2 x − 1 = 0 ⇔ x − 1 x 2 − 2 x − m 2 = 0 ⇔ x = 1 g x = x 2 − 2 x − m 2 = 0
Đk cắt tại 3 điểm phân biệt ⇔ Δ ' = 1 + m 2 > 0 g ' 1 = − 1 − m 2 ≠ 0
Khi đó C cắt Ox tại 3 điểm A x 1 ; 0 ; B 1 ; 0 ; C x 2 ; 0 , theo Viet ta có: x 1 + x 2 = 2 = 2 x B
Gọi M và N là tọa độ 2 điểm cực trị thì B là trung điểm của MN (Do B là điểm uốn)
Để A M C N là hình chữ nhật thì A C = M N ⇔ x 1 − x 2 = x M − x N 2 + 4 9 m 2 + 1 2 x M − x N 2
Trong đó x M + x N = 2 x M x N = 2 − m 2 3 ⇒ 4 + 4 m 2 = 4 + 4 m 2 − 8 3 4 9 m 2 + 1 2 + 1 ⇔ m 2 + 1 2 = 9 2
m 2 = 3 2 − 1 m 2 = − 3 2 − 1 ⇔ m = ± 3 2 − 1
Do đó T = m 1 4 + m 2 4 = 11 − 6 2
