Question

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết cos2x là 1 nguyên hàm của hàm số f(x)e^x. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x)e^x là bao nhiêu?

Answer 1

\(\int f\left(x\right).e^xdx=cos2x+C\Rightarrow f\left(x\right).e^x=\left(cos2x+C\right)'=-2sin2x\)

\(I=\int f'\left(x\right).e^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=e^x.f\left(x\right)-\int f\left(x\right).e^xdx=-2sin2x-cos2x+C\)