Question

Cho hai đường tron (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài (R > r). Hai tiếp tuyến chung AB và A'B' của hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại P (A và A' thuộc đường tròn (O'), B và B' thuộc đường tròn (O)), Biết PA = AB = 4cm. Tính diện tích hình tròn (O') ?

Answer 1

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài (R > r). Hai tiếp tuyến chung AB và A'B' của hai đường tròn (o),(O') cắt nhau tại P(A và A' thuộc đường tròn (O'), B và B' thuộc đường tròn (O)). Biết PA = AB = 4 cm. Tính diện tích hình tròn (O').

Hướng dẫn làm bài:

Vì AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) nên OB ⊥ AB và O’A ⊥ AB

Xét hai tam giác vuông OPB và O’AP, ta có:

chung

Vậy ΔOBP ~ ∆ O’AP

Ta có PO’ = OO’ = R + r = 3r (do AO’ là đường trung bình của ∆OBP)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông O’AP

O’P = O’A² + AP² hay (3r)² = r² + 4² ⇔ 9r² = r² + 16 ⇔ 8 r² =16 ⇔ r² = 2

Diện tích đường tròn (O’;r) là: S = π. r² = π.2 = 2π (cm²)

Answer 2

Vì AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) nên OB ⊥ AB và O’A ⊥ AB

Xét hai tam giác vuông OPB và O’AP, ta có:

$\hat{A}=\hat{B}={90}^0$

$\widehat{P_1}$ chung

Vậy ΔOBP ~ ∆ O’AP

$\begin{array}{c}\Rightarrow \frac{r}{R}=\frac{P{O}^{\prime }}{PO}=\frac{PA}{PB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow R=2r\end{array}$

Ta có PO’ = OO’ = R + r = 3r (do AO’ là đường trung bình của ∆OBP)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông O’AP

O’P = O’A² + AP² hay (3r)² = r² + 4² ⇔ 9r² = r² + 16 ⇔ 8 r² =16 ⇔ r² = 2

Diện tích đường tròn (O’;r) là: S = π. r² = π.2 = 2π (cm²)