Question

cho góc xAy nhọn. Lấy điểm B,C trên tia Ax,Ay sao cho AB=AC. Các đường phân giác của góc B và góc C cắt tia Ay,Ax lần lượt tại E và F 

a)Chứng minh tam giác ABE =tam giác ACF 

b) Gọi I là giao điểm của BE và CF .Chứng minh AI vuông góc EF

c) Vẽ đường trung tuyến AD của tam giác ABC . chứng minh AD đi qua điểm I

d) Biết IC =2ID. Chứng minh tam giác ABC đều 

Answer 1

a: Xét ΔABC có AB=AC

nên ΔABC cân tại A

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2};\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)

nên \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\)

Xét ΔABE và ΔACF có

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF

b: Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

nên ΔIBC cân tại I

=>IB=IC

Ta có: ΔABE=ΔACF

=>AE=AF và BE=CF

BE=BI+IE

CF=CI+IF

mà BE=CF và BI=CI

nên IE=IF

=>I nằm trên đường trung trực của EF(1)

Ta có: AE=AF

=>A nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1),(2) suy ra AI là đường trung trực của EF

=>AI\(\perp\)EF

c: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)

Ta có: IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(4)

Ta có: DB=DC

=>D nằm trên đường trung trực của BC(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra A,I,D thẳng hàng

=>AI đi qua D

d: Từ (3),(4),(5) suy ra AI\(\perp\)BC tại D

Xét ΔIDC vuông tại D có \(sinICD=\dfrac{ID}{IC}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{ICD}=30^0\)

=>\(\widehat{ACB}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{ACB}=60^0\)

nên ΔABC đều