cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M khác O. Đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với (O) tại N ở điểm P. Chứng minh:
a/ Tứ giác OMNP nội tiếp.
b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c/ Tích CM.CN không đổi.
d/ Khi M chuyển động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
a: Xét tứ giác OMNP có \(\widehat{OMP}=\widehat{ONP}=90^0\)
nên OMNP là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: OMNP nội tiếp
=>\(\widehat{ONM}=\widehat{OPM}\)
mà \(\widehat{ONM}=\widehat{OCM}\)(ΔOCN cân tại O)
nên \(\widehat{OPM}=\widehat{OCM}\)
=>\(\widehat{MOP}=\widehat{OMC}\)
=>PO//MC
Ta có: CO\(\perp\)AB
MP\(\perp\)AB
Do đó: CO//MP
Xét tứ giác CMPO có
CM//PO
CO//MP
Do đó: CMPO là hình bình hành
c: Xét (O) có
ΔCND nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCND vuông tại N
Xét ΔCOM vuông tại O và ΔCND vuông tại N có
\(\widehat{OCM}\) chung
Do đó: ΔCOM~ΔCND
=>\(\dfrac{CO}{CN}=\dfrac{CM}{CD}\)
=>\(CM\cdot CN=CO\cdot CD=2R^2\) không đổi