Cho đường tròn (O;R), đường kính AC, trên bán kính OA lấy điểm B tùy ý (B khác O và A). Vẽ đường tròn tâm N đường kính AB. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M vẽ dây DE vuông góc với BC, AD cắt (N) tại I.
a. CM tứ giác BMDI nội tiếp
b. 3 điểm I, B, E thẳng hàng
c. MI là tiếp tuyến của (N)
d. đường tròn tâm D bán kính DM cắt (O) tại P và Q. CM PQ qua trung điểm của MD.
Giúp tớ câu d với
Ta có: ^BIC = 90o (do chắn đk BC)
mà ^OMD = 90o (do DE _|_AB)
=> tg BDMI nội tiếp
Do OA _|_DE tại M => MD=ME (đường kính vuông góc với dây chia đôi dây)
=> ADBE là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường
Ta có ^ADC =90o (do chắn đường kính AC)
=> AD _|_CD
mà BI _|_CD (cm trên)
=> BI//AD (1*)
Do ADBE là hình thoi => BE//AD (2*)
Từ (1*, 2*) => I, B, E thẳng hàng
a) Do I thuộc đường tròn (N) nên \(\widehat{AIB}=90^o\Rightarrow\widehat{BID}=90^o\)
Xét tứ giác BIDM có \(\widehat{BID}=\widehat{BMD}=90^o\)mà I, M lại là hai đỉnh đối nhau nên BIDM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BD.
b) Xét đường tròn (O), theo tính chất đường kính dây cung, do OC vuông góc DE nên M là trung điểm DE.
Xét tứ giác BDCE có hai đường chéo BC và ED vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi. Hay BE // DC
Lại có DC vuông góc với AC nên BE vuông góc AD.
Lại có IB vuông góc AD nên I, B, E thẳng hàng.
c) Ta có \(\widehat{NIB}=\widehat{NBI}\) (Do tam giác NOB cân tại N)
Mà \(\widehat{NBI}=\widehat{MBE}\) (Hai góc đối đỉnh)
Vậy nên \(\widehat{NIB}=\widehat{MBE}\) (1)
Xét đường tròn đường kính BD có: \(\widehat{BIM}=\widehat{BDM}\) (Góc nội tiếp)
BDCE là hình thoi nên BD = BE. Vậy thì \(\widehat{BDM}=\widehat{BEM}\)
Suy ra \(\widehat{BIM}=\widehat{BEM}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{NIM}=\widehat{NIB}+\widehat{BIM}=\widehat{EBM}+\widehat{BEM}=90^o\)
Hay MI là trung tiếp tuyến tại I của đường tròn (N)
d)
Gọi J là giao điểm của E và PQ. Kẻ đường kính MH của đường tròn.
Khi đó thì MD = DM = ME.
Dễ thấy \(\Delta PDJ\sim\Delta JQE\left(g-g\right)\Rightarrow JE.JD=JQ.JP\)
\(\Rightarrow JD.JE=JM.JF\Rightarrow\frac{JD}{JM}=\frac{JF}{KC}\)
\(\Rightarrow\frac{JD}{JH}=\frac{JF-JD}{KE-JM}=\frac{DE}{ME}=1\)
\(\Rightarrow JM=FM\)
Hay PQ sắt MD tại trung điểm I của PQ.
