Question

Cho đường tròn $(O;R)$, đường kính $AB.M$ là điểm nằm trên đường tròn $(O;R)$ và $AM<BM$ ( $M$ khác $A)$. Vẽ $OH$ vuông góc với $BM$ tại $H$. Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O;R)$ cắt $OH$ tại $N$.

a) Chứng minh $H$ là trung điểm của $BM$ và $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$.

b) Gọi $K$ là trung điểm của $HN$. Gọi $I$ là giao điểm của $BK$ với $(O;R)$. Chứng minh $△MAB$ đồng dạng $△HBN$ và ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

Answer 1

a: Ta có: ΔOBM cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BM và OH là phân giác của góc MOB

Xét ΔOBN và ΔOMN có

OB=OM

\(\widehat{BON}=\widehat{MON}\)

ON chung

Do đó: ΔOBN=ΔOMN

=>\(\widehat{OBN}=\widehat{OMN}=90^0\)

=>NM là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Xét (O) có

\(\widehat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

\(\widehat{MBN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BN và dây cung BM

Do đó: \(\widehat{MAB}=\widehat{MBN}\)

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{HBN}\)

Xét ΔMAB vuông tại M và ΔHBN vuông tại H có

\(\widehat{MAB}=\widehat{HBN}\left(cmt\right)\)

Do đó: ΔMAB đồng dạng với ΔHBN