Cho đường tròn ( O ) và dây AB. Kẻ đường kính PQ vuông góc với dây AB tại M ( M thuộc đoạn OQ)
Lấy điểm N trên dây AB ( N nằm giữa A và M ), QN cắt đường tròn tại K ( K ≠ Q ). Tia PK cắt AB tại I. D là giao điểm của PN và QI
a) Chứng minh tứ giác PKNM nội tiếp đường tròn và 4 đỉnh I, K, M, Q cùng nằm trên 1 đường tròn
b) Biết AB = 18cm, AQ = 15cm. Tính bán kính đường tròn ( O ) và các tỉ số lượng giác của góc APQ trong tam giác APQ
c) Chứng minh QB2 = QK . QN và chứng minh D thuộc ( O ; R )
a: Xét (O) có
ΔPKQ nội tiếp
PQ là đường kính
Do đó: ΔPKQ vuông tại K
=>QK⊥PI tại K
Xét tứ giác PKNM có \(\hat{PKN}+\hat{PMN}=90^0+90^0=180^0\)
nên PKNM là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác IKMQ có \(\hat{IKQ}=\hat{IMQ}=90^0\)
nên IKMQ là tứ giác nội tiếp
=>I,K,M,Q cùng thuộc một đường tròn
b: ΔOAB cân tại O
mà OM là đường cao
nên M là trung điểm của AB
=>\(AM=\frac{AB}{2}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAMQ vuông tại M
=>\(AM^2+MQ^2=AQ^2\)
=>\(MQ^2=15^2-9^2=225-81=144=12^2\)
=>MQ=12(cm)
Xét (O) có
ΔAPQ nội tiếp
PQ là đường kính
Do đó: ΔAPQ vuông tại A
Xét ΔAPQ vuông tại A có AM là đường cao
nên \(QM\cdot QP=QA^2\)
=>\(QP=\frac{15^2}{12}=18,75\left(\operatorname{cm}\right)\)
=>Bán kính của (O) là \(\frac{QP}{2}=18,75:2=9,375\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAPQ vuông tại A
=>\(QP^2=AP^2+AQ^2\)
=>\(AP^2=18,75^2-15^2=126,5625\)
=>AP=11,25(cm)
Xét ΔAPQ vuông tại A có
\(\sin APQ=\frac{AQ}{QP}=\frac{15}{18,75}=\frac45\)
cosAPQ\(=\frac{AP}{PQ}=\frac{11.25}{18.75}=\frac35\)
tan APQ\(=\frac{AQ}{AP}=\frac{15}{11.25}=\frac43\)
cot APQ\(=\frac{AP}{AQ}=\frac34\)
c: Xét ΔQMN vuông tại M và ΔQKP vuông tại K có
\(\hat{MQN}\) chung
Do đó: ΔQMN~ΔQKP
=>\(\frac{QM}{QK}=\frac{QN}{QP}\)
=>\(QM\cdot QP=QN\cdot QK\left(1\right)\)
Xét (O) có
ΔPBQ nội tiếp
PQ là đường kính
Do đó: ΔPBQ vuông tại B
Xét ΔBPQ vuông tại B có BM là đường cao
nên \(QM\cdot QP=QB^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(QB^2=QN\cdot QK\)
Xét ΔIPQ có
QK,IM là các đường cao
QK cắt IM tại N
Do đó: N là trực tâm của ΔIPQ
=>PN⊥IQ tại D
=>ΔPQD vuông tại D
=>D thuộc (O)
