Question

Cho đường tròn (O; R) và đường kính AB. H là trung điểm của OA, dây KD vuông góc với AB tại H. C là một điểm bất kì trên đoạn HK. Tia AC cắt đường tròn tại M

1) Chứng minh bốn điểm B, M, H, C cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh : AK² = AC. AM ;

3) Giả sử C là trung điểm của HK. Tia BM cắt đường thẳng HK tại điểm E.Tính CE theo R

4) Chứng minh khi C chạy trên đoạn HK thì tâm đường tròn ngoại tiếp ACE chạy trên một đường thẳng cố định

Answer 1

a/

\(KD\perp AB\Rightarrow\widehat{CHB}=90^o\)

\(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> M và H cùng nhìn Bc dưới 1 góc \(=90^o\) Nên M và H cùng nằm trên đường tròn đường kính AB nên B;M;H;C cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Ta có \(AB\perp KD\Rightarrow HK=HD\) (đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

Xét tam giác AKD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung trực nên tg AKD là tg cân tại A => AK=AD

=> số đo cung AK = số đo cung AD (hai dây cung bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau)

Ta có

số đo \(\widehat{KMA}=\frac{1}{2}\) số đo cung AK (góc nội tiếp đường tròn)

số đo \(\widehat{AKD}=\frac{1}{2}\) số đo cung AD (góc nội tiếp đường tròn)

Mà số đo cung AK = số đo cung AD (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{KMA}=\widehat{AKD}\)

Xét tg AKC và tg AMK có

\(\widehat{KAM}\) chung

\(\widehat{AKD}=\widehat{AMK}\left(cmt\right)\)

=> tg AKC đồng dạng tg AMK (g.g.g) \(\Rightarrow\frac{AK}{AM}=\frac{AC}{AK}\Rightarrow AK^2=AC.AM\left(dpcm\right)\)

c/

Xét tg vuông AHC và tg vuông AMB có \(\widehat{MAB}\) chung => tg AHC đồng dạng tg AMB 

\(\Rightarrow\frac{AH}{AM}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AH.AB=AC.AM=AK^2\)

\(\Rightarrow\frac{R}{2}.2R=AK^2=R^2\Rightarrow AK=R\)

Xét tg vuông AHK có

\(KH^2=AK^2-AH^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow KH=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(KC=CH=\frac{KH}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{4}\)

Xét tg vuông ACH có 

\(AC^2=CH^2+AH^2=\frac{3R^2}{16}+\frac{R^2}{4}=\frac{7R^2}{16}\Rightarrow AC=\frac{R\sqrt{7}}{4}\)

Mà \(AK^2=AC.AM\Rightarrow AM=\frac{AK^2}{AC}=\frac{R^2}{\frac{R\sqrt{7}}{4}}=\frac{4R\sqrt{7}}{7}\)

Ta có \(CM=AM-AC=\frac{4R\sqrt{7}}{7}-\frac{R\sqrt{7}}{4}=\frac{9R\sqrt{7}}{28}\)

Xét tg vuông MEC và tg vuông AHC có \(\widehat{ECM}=\widehat{ACH}\) (góc đối đỉnh) => tg MEC đồng dạng tg AHC)

\(\Rightarrow\frac{CE}{AC}=\frac{MC}{CH}\Rightarrow CE=\frac{AC.MC}{CH}=\frac{\frac{R\sqrt{7}}{4}.\frac{9R\sqrt{7}}{28}}{\frac{R\sqrt{3}}{4}}=\frac{3R\sqrt{3}}{4}\)

d/ Giao đường tròn ngoại tiếp tg ACE là gia 3 đường trung trực 

Ta có A cố định, K cố định nên đường trung trực của