Question

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua A và B ta vẽ hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Trên đường tròn (O) lấy một điểm C bất kỳ ( C khác A và B). Qua C ta vẽ tiếp tuyến của (O) cắt tiếp tuyến qua A tại M và tiếp tuyến qua B tại N. a) Chứng minh: MA . NB = R2 b) ON cắt BC tại D và OM cắt AC tại E. Chứng minh: tứ giác OECD là hình chữ nhật.

Answer 1

a: Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC và OM là phân giác của góc AOC

Xét (O) có

NC,NB là các tiếp tuyến

Do đó: NC=NB và ON là phân giác của góc COB

Ta có: OM là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{COM}\)

Ta có: ON là phân giác của góc COB

=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{CON}\)

Ta có: \(\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{CON}+\widehat{COM}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{MON}=180^0\)

=>\(\widehat{MON}=90^0\)

=>ΔMON vuông tại O

Xét ΔOMN vuông tại O có OC là đường cao

nên \(MC\cdot CN=OC^2\)

=>\(AM\cdot BN=R^2\)

b: ta có: MC=MA

=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AC

=>MO\(\perp\)AC tại E

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác OECD có \(\widehat{OEC}=\widehat{ECD}=\widehat{EOD}=90^0\)

nên OECD là hình chữ nhật