Question

Cho đường tròn ( O ; R ) đường kính AB. H là trung điểm của OB. Qua H vẽ dây CD vuông góc AB.

a) C/m : Tam giác OCB đều và tứ giác OCDC là hình thoi

b) C/m : AC\(^2\)= 2AH . R và AH . HB = CH . HD

c) Tính độ dài AC và CH theo R

d) Tiếp tuyến C và D cắt nhau ở I. Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và 4HB . HI = 3R\(^2\)

 

Answer 1

a:

Sửa đề: OCBD là hình thoi

Xét ΔCOB có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đó: ΔCOB cân tại C

Xét ΔCOB cân tại C có OB=OC

nên ΔCOB đều

Ta có; ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét tứ giác OCBD có

H là trung điểm chung của OB và CD

=>OCBD là hình bình hành

Hình bình hành OCBD có OC=OD

nên OCBD là hình thoi

b: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔACB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AC^2=AH\cdot AB\)

=>\(AC^2=AH\cdot2R\)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot HB=CH^2=CH\cdot HD\)

c: Ta có: ΔOCB đều

=>\(\widehat{OBC}=60^0\)

=>\(\widehat{ABC}=60^0\)

Xét ΔACB vuông tại C có \(sinABC=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(\dfrac{AC}{2R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(AC=R\sqrt{3}\)

Xét ΔACB vuông tại C có \(cosABC=\dfrac{CB}{AB}\)

=>\(\dfrac{CB}{2R}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>CB=R

Xét ΔCHB vuông tại H có \(sinCBH=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(\dfrac{CH}{R}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(CH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

d: Xét (O) có

IC,ID là các tiếp tuyến

Do đó: IC=ID

=>I nằm trên đường trung trực của CD(1)

Ta có: OCBD là hình thoi

=>OB là đường trung trực của DC(2)

Từ (1),(2) suy ra O,B,I thẳng hàng