Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi H là trung điểm của OB. Qua H vẽ dây CD vuông góc với AB. a) Tính các góc của tam giác ABC và độ dài đoạn CH theo R. b) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O; R) cắt tia AB tại I. Chứng minh OD vuông góc với ID. c) Chứng minh 4HB.HI = 3R2. d) Hạ HG vuông góc với AD. Tia đối của tia HG cắt CB tại E. Tia OE cắt CI tại K. Chứng minh KB là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
a: ΔOCD cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của CD
Xét ΔCOB có
CH là đường cao
CH là đường trung tuyến
Do đó: ΔCOB cân tại C
=>CO=CB
mà OC=OB
nên OC=OB=CB
=>ΔOCB đều
=>\(\hat{OBC}=60^0\)
=>\(\hat{ABC}=60^0\)
Xét ΔCHB vuông tại H có \(\sin CBH=\frac{CH}{CB}\)
=>\(\frac{CH}{R}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(CH=\frac{R\sqrt3}{2}\)
Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
=>\(\hat{ACB}=90^0\)
ΔCAB vuông tại C
=>\(\hat{CAB}+\hat{CBA}=90^0\)
=>\(\hat{CAB}=90^0-60^0=30^0\)
b: ΔOCD cân tại O
mà OH là đường cao
nên OH là phân giác của góc COD
Xét ΔOCI và ΔODI có
OC=OD
\(\hat{COI}=\hat{DOI}\)
OI chung
Do đó: ΔOCI=ΔODI
=>\(\hat{OCI}=\hat{ODI}\)
=>\(\hat{ODI}=90^0\)
=>OD⊥ID
c:
Xét ΔOCI vuông tại C có CH là đường cao
nên \(HO\cdot HI=CH^2=\left(\frac{R\sqrt3}{2}\right)^2=R^2\cdot\frac34\)
\(4\cdot HB\cdot HI=2\cdot2\cdot HB\cdot HI=2\cdot OB\cdot HI=2\cdot2\cdot OH\cdot HI\)
\(=4\cdot OH\cdot HI\)
\(=4\cdot R^2\cdot\frac34=R^2\cdot3\)
