. Cho đường tròn (O; R) có dây BC cố định không đi qua O, điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh: Tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
2 ) Vẽ đường kính AD của (O). c/m : tg BHCD là hbh
3) BM cắt (O) tại điểm thứ hai E. c/m : M là trung điểm HE, MN vuông góc AD.
4) CN cắt (O) tại điểm thứ hai F. Vẽ d là đường thẳng đi qua H và vuông góc với EF. Lấy là điểm đối xứng của O qua trung điểm BM. c/m: I thuộc d
1: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AMHN là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BD\(\perp\)AB
=>BD//CH
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó; ΔACD vuông tại C
=>CD\(\perp\)AC
=>CD//BH
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
3:
Gọi K là giao điểm của AH với BC
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường cao
BM cắt CNtại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại K
Xét (O) có
\(\widehat{AEB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
Do đó: \(\widehat{AEB}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{AHM}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{HAM}\right)\)
nên \(\widehat{AHE}=\widehat{AEH}\)
=>ΔAHE cân tại A
Ta có: ΔAHE cân tại A
mà AM là đường cao
nên M là trung điểm của HE
Kẻ tiếp tuyến Ax tại Acủa (O)
=>Ax\(\perp\)AD tại A
Ta có: AMHN là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\)
mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{BAK}\right)\)
nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{xAC}=\widehat{AMN}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//MN
=>AD\(\perp\)MN
