Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (0). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax, lấy điểm M thuộc đường tròn (O) (M khác A, M khác B) sao cho MA> MB. Tiếp tuyến của đường tròn (0) tại M cắt tia Ax tại D. Gọi H là giao điểm của DO với AM.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng: OD 1 AM và OH.OD = R²;
c) Gọi E là giao điểm của DB với đường tròn (O). Chứng minh DEM = DMB.
a: Xét tứ giác DAOM có \(\widehat{DAO}+\widehat{DMO}=90^0+90^0=180^0\)
nên DAOM là tứ giác nội tiếp
=>D,A,O,M cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
DA,DM là các tiếp tuyến
Do đó: DA=DM
=>D nằm trên đường trung trực của AM(1)
Ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của AM
=>OD\(\perp\)AM tại H và H là trung điểm của AM
Xét ΔOMD vuông tại M có MH là đường cao
nên \(OH\cdot OD=OM^2=R^2\)
c: Xét (O) có
ΔEAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔEAB vuông tại E
=>AE\(\perp\)DB tại E
Xét ΔDAB vuông tại A có AE là đường cao
nên \(DE\cdot DB=DA^2=DM^2\)
=>\(\dfrac{DE}{DM}=\dfrac{DM}{DB}\)
Xét ΔDEM và ΔDMB có
\(\dfrac{DE}{DM}=\dfrac{DM}{DB}\)
\(\widehat{EDM}\) chung
Do đó: ΔDEM~ΔDMB
=>\(\widehat{DEM}=\widehat{DMB}\)
