Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại C (C khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N. a) CM: MN = MA + NB
b) Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt MN tại Q. CM: Q là trung điểm của MN
c) CM: AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.
a: Xét (O) có
MC,MA là các tiếp tuyến
Do đó; MC=MA và OM là phân giác của góc COA
Xét (O) có
NC.NB là các tiếp tuyến
Do đó: NC=NB và ON là phân giác của góc COB
Ta có: MN=MC+CN
=>MN=MA+NB
b: OQ⊥AB
MA⊥BA
NB⊥BA
Do đó: OQ//MA//NB
xét hình thang AMNB có
O là trung điểm của AB
OQ//AM//NB
Do đó; Q là trung điểm của MN
c: Q là trung điểm của MN
=>Q là tâm đường tròn đường kính MN
Ta có: OM là phân giác của góc COA
=>\(\hat{COA}=2\cdot\hat{COM}\)
ON là phân giác của góc COB
=>\(\hat{COB}=2\cdot\hat{CON}\)
Ta có: \(\hat{COA}+\hat{COB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{COM}+\hat{CON}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{MON}=180^0\)
=>\(\hat{MON}=90^0\)
=>O nằm trên đường tròn đường kính MN
hay O nằm trên (Q)
Xét (Q) có
QO là bán kính
AB⊥QO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (Q)
hay AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN
