Question

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Dây EF không đi qua tâm. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A;B đến EF. Chứng minh IE = KF

Answer 1

xét (O) có góc AFB = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

góc FEB = FAB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn FB) => cot góc FEB = cot góc FAB

ta có góc IFA + AFB + BFK = 180 

=> góc IFA + góc BFK + 90 =180 => góc  IFA + góc BFK = 90 

xét tam giác IFA vuông tại I => góc IFA + góc IAF = 90 ( tc )

=> góc IAF = góc BFK ( cùng phụ với góc IFA)

xét tam giác IFA và tam giác KBF có 

góc IAF = góc BFK

góc I = góc K = 90 

=> tam giác đồng dạng 

=> IF/BK = AF/BF ( tỉ số đồng dạng)

xét tam giác AFB vuông tại F 

có cot FAB = AF/BF ( tỉ số lg giác)

xét tam giác EKB vuông tại K có

cot FEB = EK/BK (tỉ số lg giác)

mà cot FAB = cot FEB

=> AF/BF=EK/BK = IF/BK 

=> IF = EK 

mà IF = IE + EF ; EK=FK+EF => IE=FK

 

Answer 2