Question

Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. GỌi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MN // BC và gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Answer 1

Xét (O) có

MN,BC là các dây

MN//BC

\(\stackrel\frown{MB};\stackrel\frown{NC}\) là hai cung chắn hai bên

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{NC}\)

mà \(sđ\stackrel\frown{MA}=sđ\stackrel\frown{MB}\)

nên \(sđ\stackrel\frown{MA}=sđ\stackrel\frown{NC}\)

Xét (O) có

\(\widehat{NMC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC

\(\widehat{ACM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(sđ\stackrel\frown{NC}=sđ\stackrel\frown{MA}\)

Do đó: \(\widehat{NMC}=\widehat{ACM}\)

=>\(\widehat{SMC}=\widehat{SCM}\)

=>SM=SC

Xét (O) có

\(\widehat{NAC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(sđ\stackrel\frown{NC}=sđ\stackrel\frown{AM}\)

Do đó: \(\widehat{NAC}=\widehat{ANM}\)

=>\(\widehat{SAN}=\widehat{SNA}\)

=>SA=SN