Lời giải:
$\frac{xy+1}{y}=\frac{yz+1}{z}$
$\Rightarrow z(xy+1)=y(yz+1)$
$\Rightarrow yz(x-y)=y-z(1)$
$\frac{yz+1}{z}=\frac{xz+1}{x}$
$\Rightarrow x(yz+1)=z(zx+1)$
$\Rightarrow xz(y-z)=z-x(2)$
$\frac{xy+1}{y}=\frac{xz+1}{x}$
$\Rightarrow x(xy+1)=y(xz+1)$
$\Rightarrow xy(x-z)=y-x(3)$
Từ $(1); (2); (3)$ thu được:
$yz(x-y).xz(y-z).xy(x-z)=(y-z)(z-x)(y-x)$
$\Leftrightarrow x^2y^2z^2(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)$
$\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x)(x^2y^2z^2-1)=0$
$\Rightarrow x-y=0$ hoặc $y-z=0$ hoặc $z-x=0$ hoặc $x^2y^2z^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $y=z$ hoặc $z=x$ hoặc $x^2y^2z^2=1$
Nếu $x=y$ thì: $\frac{x^2+1}{x}=\frac{xz+1}{x}$
$\Rightarrow x^2+1=xz+1$
$\Rightarrow x^2=xz\Rightarrow x=0$ hoặc $x=z$. Do $x,y,z\neq 0$ nên $x=z$
$\Rightarrow x=y=z$.
Tương tự khi xét $y=z$ và $z=x$ thì ta cũng thu được $x=y=z$
Vậy $x=y=z$ hoặc $x^2y^2z^2=1$
