Question

Cho \(\Delta\) ABC vuông tại A, đường cao AH và đường phân giác BD cắt nhau tại I

a) Chứng minh: \(\Delta\)ABC đồng dạng \(\Delta\)HAC

b)Chứng minh: \(\Delta\)ABI đồng dạng \(\Delta\)CBD từ đó suy ra AB.CD=AI.BC

c) Cho biết BC=a; AC=b; AB=c. Tính diện tích tam giác BDC theo a,b,c.

Answer 1

a) xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

góc BAC=góc AHC=90 độ

góc C chung

suy ra tam giác ABC ~ tam giác HAC(g.g)

b) ta có: góc BAH+góc ABH=90 độ

góc C+góc ABH=90 độ

\(\Rightarrow\) góc C=góc BAH(cùng phụ với góc ABH)

xét tam giác ABI và tam giác CBD có:

góc ABI=góc CBD(BD là phân giác góc ABC)

góc C=góc BAH(CMT)

suy ra tam giác ABI ~ tam giác CBD (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AI}{CD}\Rightarrow AB\cdot CD=AI\cdot BC\)

c) ta có: BD là phân giác góc ABC nên:

\(\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{BC}{AB}\Rightarrow\dfrac{DC}{DC+AD}=\dfrac{BC}{BC+AB}=\dfrac{DC}{AC}\\ \Rightarrow DC=\dfrac{BC\cdot AC}{BC+AB}=\dfrac{a\cdot b}{a+c}\)

ta có : \(S_{BDC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot CD=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot\dfrac{ab}{a+c}=\dfrac{abc}{2\left(a+c\right)}\)