Question

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ \(BD\perp AC\) tại D, \(CE\perp AB\) tại E. Trêm tia đối của tia BD lấy điểm F sao cho BF = AC, trên tia đối của tia CE lấy điểm G sao cho CG = AB.

Chứng minh: AF = AG và AF \(\perp\) AG.

_{Giải chi tiết + vẽ hình dùm mình với ạ. Thanks}

Answer 1

Do \(BD\perp AC\) và \(CE\perp AB\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\))

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABF}=180^0-\widehat{ABD}\\\widehat{GCA}=180^0-\widehat{ACE}\end{matrix}\right.\) (các góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{ABF}=\widehat{GCA}\)

Xét hai tam giác ABF và GCA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=CG\left(gt\right)\\\widehat{ABF}=\widehat{GCA}\left(cmt\right)\\BF=AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta ABF=\Delta GCA\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AF=AG\)

Đồng thời ta cũng suy ra \(\widehat{BAF}=\widehat{CGA}\)

Lại có: \(\widehat{ACE}=\widehat{CGA}+\widehat{CAG}\) (t/c góc ngoài của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{BAF}+\widehat{CAG}\)

Mà tam giác ACE vuông tại E \(\Rightarrow\widehat{ACE}+\widehat{CAE}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAF}+\widehat{CAG}+\widehat{CAE}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{FAG}=90^0\)

Hay \(AF\perp AG\)

Answer 2