Question

Cho dãy u n  cho bởi công thức truy hồi u 1 = 1 2 u n + 1 = 1 2 − u n nếu n ≥ 1 .  Tính giới hạn I của dãy số u n  (nếu tồn tại).

A. Không tồn tại giới hạn của dãy u n .

B. I = 2 3 .

C. I = 1 .

D. I = + ∞ .

Answer 1

Đáp án C

Ta có 0 < u 1 < 1  và nếu 0 < u k < 1  thì u k + 1 = 1 2 - u k < 1  nên bằng quy nạp ta có:

0 < u n < 1, ∀ n .

Ta có u 1 = 1 2 < u 2 = 2 3  và nếu u k < u k + 1  thì u k + 2 − u k + 1 = 1 2 − u k + 1 − 1 2 − u k > 0  nên bằng quy nạp ta có:  u n < u n + 1 , ∀ n .

Do đó dãy u n  tăng và bị chặn nên tồn tại lim u n = I ∈ R .

Ta có 

lim u n + 1 = lim 1 2 − u n ⇒ I = 1 2 − I ⇒ − I 2 + 2 I − 1 = 0

⇒ I = 1.