a: Xét (I) có
ΔBHD nội tiếp
BH là đường kính
Do đó: ΔHDB vuông tại D
=>HD\(\perp\)AB tại D
Xét (K) có
ΔCEH nội tiếp
CH là đường kính
Do đó: ΔCEH vuông tại E
=>HE\(\perp\)AC tại E
Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
b: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EDH}=\widehat{EAH}\)
mà \(\widehat{EAH}=\widehat{B}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)
nên \(\widehat{EDH}=\widehat{B}\)
ID=IH
=>ΔIDH cân tại I
=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)
\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}=\widehat{DHB}+\widehat{DBH}=90^0\)
=>DE\(\perp\)DI tại D
=>DE là tiếp tuyến của (I) tại D
Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)
mà \(\widehat{DAH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
nên \(\widehat{DEH}=\widehat{ACB}\)
KE=KH
=>ΔKEH cân tại K
=>\(\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\)
\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}=\widehat{EHC}+\widehat{ECH}=90^0\)
=>DE\(\perp\)EK tại E
=>DE là tiếp tuyến của (K)
c: Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\)
mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)
nên \(\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ADE}+\widehat{BDE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{BDE}+\widehat{BCE}=180^0\)
=>BDEC nội tiếp
