Question

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm O, đường kính AC. Trên tia BH lấy D sao cho H là trung điểm BD. Nôi A với D cắt ( O ) tại E.

a) Chứng minh: CH là tia phân giác \(\hat{ACE}\) . b) Chứng minh: OH ⊥ AE.

Answer 1

a: Vì ΔAHC vuông tại H

nên H nằm trên đường tròn đường kính AC

Xét (O) có \(\hat{ECH};\hat{EAH}\) là các góc nội tiếp chắn cung EH

=>\(\hat{ECH}=\hat{EAH}\) (1)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHD vuông tại H có

AH chung

HB=HD

Do đó: ΔAHB=ΔAHD

=>\(\hat{HAB}=\hat{HAD}=\hat{EAH}\left(2\right)\)

ta có: \(\hat{HAB}+\hat{ABC}=90^0\) (ΔHBA vuông tại H)

\(\hat{ACB}+\hat{ABC}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

Do đó; \(\hat{HAB}=\hat{ACB}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{ACB}=\hat{ECB}\)

=>CB là phân giác của góc ACE

b: Xét (O) có

\(\hat{ECH}\) là góc nội tiếp chắn cung EH

\(\hat{ACH}\) là góc nội tiếp chắn cung AH

\(\hat{ECH}=\hat{ACH}\)

Do đó: sđ cung HA=sđ cung HE

=>HA=HE

mà OA=OE

nên OH là đường trung trực của AE

=>OH⊥AE