Question

Cho các số x và y có dạng:

           x = a₁\(\sqrt{2}\) +b₁ và y = a₂\(\sqrt{2}\) +b₂

trong đó a₁,a₂,b₁,b₂ là các số hữu tỉ.Chứng minh:\(\dfrac{x}{y}\) với y ≠ 0 cũng có dạng a\(\sqrt{2}\) + b với a và b là số hữu tỉ.

Answer 1

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{a_1\sqrt{2}+b_1}{a_2\sqrt{2}+b_2}=\dfrac{\left(a_1\sqrt{2}+b_1\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}{\left(a_2\sqrt{2}+b_2\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}\)

\(=\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2+\left(a_2b_1-a_1b_2\right)\sqrt{2}}{2a_2^2-b_2^2}=\dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\sqrt{2}+\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)

Đặt \(\dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}=a\) và \(\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}=b\)

Do \(a_1;a_2;b_1;b_2\) hữu tỉ nên a;b hữu tỉ

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=a\sqrt{2}+b\) với a;b hữu tỉ