Lê Chí Cường

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: xy+yz+zx=3. Tìm GTNN của:

\(P=\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y^4}{z+3x}+\frac{z^4}{z+3y}\)

Thắng Nguyễn
28 tháng 11 2016 lúc 21:27

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta có:

\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" khi x=y=z=1

Bình luận (0)
Phú Lê Hoàng
28 tháng 11 2016 lúc 21:53

xin cho mình hỏi sao x+y+z lại\(\ge\)xy+yz+zx vậy

Bình luận (0)
Lê Chí Cường
28 tháng 11 2016 lúc 22:07

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=>\(\left(a+b+c\right)^2\ge9\)

<=>\(a+b+c\ge3\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trương Cao Phong
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mát
Xem chi tiết
phan tuấn anh
Xem chi tiết
Thức Vương
Xem chi tiết
Kawasaki
Xem chi tiết
Trần Hữu Ngọc Minh
Xem chi tiết
quynh huong
Xem chi tiết
Phạm Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Hắc Thiên
Xem chi tiết