Ối,không ngờ đề gắt ~v
Theo Cô si,ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)
Suy ra \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{9}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{12}\left[2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Nhân abc vào mỗi vế : \(VT.abc\le\frac{1}{6}\left(ab+bc+ca\right)=\frac{abc}{6}\)
Chia cả hai vế cho abc (vì a,b,c dương nên abc khác 0): \(VT\le\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)(đpcm)
Cũng không biết đúng hay sai nữa :v
Lưu ý rằng: \(VT=\frac{1}{6}\Leftrightarrow a=b=c=3\)
tth sai sao đc Giáo Viên t i c k????
cô Linh Chi sao t i c k cho bài làm sai???
bài làm của tth sai nhé sao GV vx t i c k đúng nhỉ?
Quan trọng là bạn phải giải thích được t sai chỗ nào.Nói xuông như thế t còn nói hơn bạn:)
à,chắc ý bạn là chỗ: \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}.\)
Sửa lại:
\(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Còn lại y chang !
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)với x,y > 0 . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y
Ta có : \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a + c = 2 ( b + c )
\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)=\frac{1}{16a}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = c ; b = c
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2b+3c}\le\frac{1}{16a}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}\).
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a +c = 2( b + c ) ; a =c ; b = c \(\Leftrightarrow\)c = 0 ( trái với giả thiết )
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a+2b+3c}< \frac{1}{16a}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}\)
Tương tự : \(\frac{1}{2a+3b+c}< \frac{1}{16c}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32a}\); \(\frac{1}{3a+2c+b}< \frac{1}{16b}+\frac{1}{16a}+\frac{1}{32c}+\frac{1}{32a}\)
Cộng theo từng vế, ta được :
\(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+2c+b}< \)
\(\left(\frac{1}{16a}+\frac{1}{32a}+\frac{1}{16a}+\frac{1}{32a}\right)+\left(\frac{1}{16b}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{32b}\right)+\left(\frac{1}{16c}+\frac{1}{32c}+\frac{1}{16c}+\frac{1}{32c}\right)\)
\(=\frac{3}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{16}.\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{3}{16}\)
