Cho C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( c ≠ a , c ≠ b ) . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ 2 tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I khác A, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại P.
a. CMR: Tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
b. CMR: AI . BK = AC . BC
c. CMR: Tam giác APB vuông.
d. Cho A, B, I cố định. Tìm vị trí điểm C để diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn nhất.
a: Xét tứ giác CBKP có \(\widehat{KBC}+\widehat{KPC}=90^0+90^0=180^0\)
nên CBKP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CK
Tâm là trung điểm của CK
b: Ta có: \(\widehat{ICA}+\widehat{ICK}+\widehat{KCB}=180^0\)
=>\(\widehat{ICA}+\widehat{KCB}+90^0=180^0\)
=>\(\widehat{ICA}+\widehat{KCB}=90^0\)
mà \(\widehat{ICA}+\widehat{AIC}=90^0\)
nên \(\widehat{AIC}=\widehat{BCK}\)
Xét ΔAIC vuông tại A và ΔBCK vuông tại B có
\(\widehat{AIC}=\widehat{BCK}\)
Do đó: ΔAIC~ΔBCK
=>\(\dfrac{AI}{BC}=\dfrac{AC}{BK}\)
=>\(AI\cdot BK=AC\cdot BC\)
c: Xét tứ giác IACP có \(\widehat{IAC}+\widehat{IPC}=90^0+90^0=180^0\)
nên IACP là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AIC}=\widehat{APC}\)
\(\widehat{APB}=\widehat{APC}+\widehat{BPC}\)
\(=\widehat{AIC}+\widehat{BKC}\)
\(=\widehat{BKC}+\widehat{BCK}=90^0\)
=>ΔAPB vuông tại P
