Yêu cầu chứng minh \(B\ge1\) là đáp án đúng cho bài toán này.
Không giải!
Cho \(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x},\) trong đó, \(x,y\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(xy=1\)
Chứng minh: \(B\ge1\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\)
Trước hết, ta thực hiện công đoạn áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho bốn số dương có dạng sau:
\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^3}{\left(1+y\right)}.\frac{\left(1+y\right)}{4}.\frac{x}{2}.\frac{1}{2}}=4\sqrt[4]{\frac{x^4}{16}}=2x\)
Khi đó, ta xây dựng được một bất đẳng thức cho riêng phân số \(\frac{x^3}{1+y}\) bằng cách suy ra từ kết quả vừa chứng minh ở trên:
\(\frac{x^3}{1+y}\ge\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}\)
Đổi biến theo vòng hoán vị \(y\rightarrow x,\) từ đây, ta thiết lập được đánh giá tương tự như sau, điển hình:
\(\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{3y}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+x}{4}\)
Kết hợp hai bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên, ta có đánh giá sau:
\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{3x}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}+\frac{3y}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1-x}{4}\)
Biến đổi vế phải của bất đẳng thức trên, ta suy ra được:
\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{5\left(x+y\right)-6}{4}\)
Hơn nữa, theo một kết quả quen thuộc, ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)(sử dụng giả thiết \(xy=1\) để suy ra đánh giá mới cho bài toán)
Do đó,
\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\ge\frac{5.2-6}{4}=1\)
\(\Rightarrow\) \(B\ge1\)
Cuối cùng, với \(x=y=1\) (thỏa mãn điều kiện) thì \(B=1\) nên ta suy ra \(1\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B\)
Phép chứng minh hoàn tất.
