Question

Cho ba số nguyên dương a,b,c . Tổng \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)có giá trị là số nguyên dương không ? vì sao ?

Answer 1

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

                                               \(>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)

                                               \(< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không là số nguyên dương