B = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰
= 2 + (2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + ... + (2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)
= 2 + 2².(1 + 2 + 2²) + 2⁵.(1 + 2 + 2²) + ... + 2⁹⁸.(1 + 2 + 2²)
= 2 + 2².7 + 2⁵.7 + ... + 2⁹⁸.7
= 2 + 7.(2² + 2⁵ + ... + 2⁹⁸)
Ta có:
2 không chia hết cho 7
7.(2² + 2⁵ + ... + 2⁹⁸) ⋮ 7
Vậy B không chia hết cho 7
Dãy số B được tạo thành bằng cách cộng các lũy thừa của số 2 từ 2^1 đến 2^100. Ta có thể viết B như sau:
B = 2^1 + 2^2 + 2^3 + … + 2^99 + 2^100
Chúng ta có thể nhận thấy rằng mỗi số trong dãy B đều chia hết cho 2. Điều này có nghĩa là mỗi số trong dãy B đều có dạng 2^n, với n là một số nguyên không âm.
Nếu chúng ta xem xét các số trong dãy B theo modulo 7 (lấy phần dư khi chia cho 7), chúng ta sẽ thấy một chu kỳ lặp lại. Cụ thể, chu kỳ lặp lại này có độ dài là 6 và gồm các giá trị: 2, 4, 1, 2, 4, 1, …
Vì vậy, để tính tổng của dãy B, chúng ta có thể chia tổng số lũy thừa của 2 (tức là 100) cho 6, lấy phần dư và tìm giá trị tương ứng trong chu kỳ lặp lại. Trong trường hợp này, 100 chia cho 6 dư 4, vì vậy chúng ta sẽ lấy giá trị thứ 4 trong chu kỳ lặp lại, tức là 2.
Vậy, B khi chia cho 7 sẽ có phần dư là 2. Điều này có nghĩa là B không chia hết cho 7.
