Question

cho a,b\(\in\)N thỏa \(2a^2+a=3b^2+b\) Cmr a-b và 2a+2b+1 là 1 số chính phương

Answer 1

Nếu \(a=0\)  hoặc \(b=0\)  thì \(a=b=0\to a-b=0,2a+2b+1=1\) là các số chính phương.

Xét trường hợp  \(a,b\) là số nguyên dương.

Từ giả thiết suy ra \(2a^2+a-2b^2-b=b^2\to\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2.\) 

Đặt \(d=UCLN\left(a-b,2a+2b+1\right)\to b^2\vdots d^2\to b\vdots d\to a\vdots d\to2a+2b\vdots d\to1\vdots d\to d=1.\)
Thành thử hai số \(a-b,2a+2b+1\) nguyên tố cùng nhau, có tích là số chính phương. Suy ra từng số phải là số chính phương (ĐPCM)