Question

Cho \(a,b\ge1.CMR:a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

Answer 1

\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\Leftrightarrow\sqrt{a}\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}\sqrt{ab-b}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(2ab-a-b\right)}\le\frac{a+b-a-b+2ab}{2}=ab\)

BĐT đc chứng minh

Answer 2

\(x=\sqrt{a-1};y=\sqrt{b-1}\) bỏ căn đi viết cho dẽ nhìn

\(x^2=a-1;y^2=b-1\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)y+\left(y^2+1\right)x\le\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-2y+1\right)+\left(y^2+1\right)\left(x^2-2x+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y-1\right)^2+\left(y^2+1\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)Đúng với mọi x,y => dpcm

Đẳng thức khi x=y=1=> a=b=2

Answer 3

@ tn . Đẳng thức xẩy ra khi nào?

Answer 4

@phamthi...:dấu "=" a=b với mọi a,b>=1

Answer 5

@pham...Đừng tin CTV

\(a=b=10\Rightarrow VT=10\sqrt{10-1}+10\sqrt{10-1}=30+30=60=10.10=100=VP\)?????

Answer 6

Quá​ tệ

Answer 7

Ta thấy A gồm có 99 số hạng nên ta nhóm mỗi nhóm 3 số hạng.

Ta có: A = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ +...+ 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹

             = (1 + 5 + 5² )+ (5³ + 5⁴ + 5⁵ )+...+( 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹ )

             =(1 + 5 + 5² )+ 5³(1 + 5 + 5² ) +...+ 5⁹⁷(1 + 5 + 5² )

             = ( 1 + 5 + 5²)(1 + 5³+....+5⁹⁷)

             = 31(1 + 5³+....+5⁹⁷)

Vì có một thừa số là 31 nên A chia hết cho 31.

 P/s Đừng để ý câu trả lời của mình