Question

Cho \(a,b,c\in\left\{-1;2\right\}\)thỏa mãn \(a+b+c=0\).CMR: \(a^2+b^2+c^2\le6\)

Answer 1

Đặt a+1=x;  b+1=y;  c+1=z; đề bài trở thành ''Cho x,y,z\(\in\left(0;3\right)\)thỏa mãn x+y+z=3 cm \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\le6\)''

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương : \(x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+3\le6\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3+2\left(x+y+z\right)=9\)(1)    mà \(x+y+z=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2=9-2\left(xy+yz+zx\right)\)vậy (1)\(\Leftrightarrow9-2\left(xy+yz+xz\right)\le9\Leftrightarrow-2\left(xy+yz+xz\right)\le0\)(2)   mà x,y,z thuộc (0;3) => (2) đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên ta suy ra đpcm