Question

Cho a+b+c=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=-ab-bc-ca

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$a^2+b^2\geq 2ab$

$b^2+c^2\geq 2bc$

$c^2+a^2\geq 2ac$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow 25\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{25}{3}$

$\Rightarrow -(ab+bc+ac)\geq \frac{-25}{3}$

Vậy $A_{\min}=\frac{-25}{3}$ khi $a=b=c=\frac{5}{3}$