Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyen

Cho a,b,c>0 tm \(a^2+b^2+c^2+abc=4\).CMR:

\(a+b+c\ge\Sigma a\sqrt{bc}\)

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 2 2020 lúc 15:14

Sử dụng bổ đề: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Cách chứng minh bổ đề kia bằng Dirichlet google rất nhiều.

Ta có: \(2a^2+2b^2+2c^2+2abc=8\)

\(\Leftrightarrow9=a^2+b^2+c^2+\left(a^2+b^2+c^2+2abc+1\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)

\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+a\left(b+c\right)\right]\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{2}\left[a.2\sqrt{bc}+b.2\sqrt{ac}+c.2\sqrt{ab}\right]\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Thảo Vi
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Easylove
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Anh Đỗ Nguyễn Thu
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết
tran duc huy
Xem chi tiết
Aoko
Xem chi tiết