Question

cho a,b,c > 0 và a+b+c = 3. cmr: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3a$

$\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\geq 3b$

$\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\geq 3c$

Cộng theo vế thu được:

$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$

Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$