Question

Cho △ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại điểm M. Kẻ MD ⊥ BC (D ∈ BC).

a) Chứng minh rằng △ABM = △DBM.

b) Gọi E là giao điểm của 2 đường thẳng DM và BA. Chứng minh ME = MC.

c) Kẻ BH ⊥ EC tại H. Chứng minh rằng △ABC = △DBE và 3 điểm B, M, H thẳng hàng.

Answer 1

a: Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBDM vuông tại D có

BM chung

\(\widehat{ABM}=\widehat{DBM}\)

Do đó: ΔBAM=ΔBDM

b: ΔBAM=ΔBDM

=>BA=BD và MA=MD

Xét ΔMAE vuông tại A và ΔMDC vuông tại D có

MA=MD

\(\widehat{AME}=\widehat{DMC}\)

Do đó: ΔMAE=ΔMDC

=>ME=MC

c: ΔMAE=ΔMDC

=>AE=DC

BA+AE=BE

BD+DC=BC

mà BA=BD

và AE=DC

nên BE=BC

Xét ΔABC vuông tại A và ΔDBE vuông tại D có

BC=BE

BA=BD

Do đó: ΔABC=ΔDBE

Ta có: BE=BC

=>B nằm trên đường trung trực của EC(1)

Ta có: ME=MC

=>M nằm trên đường trung trực của EC(2)

Xét ΔBEC có BE=BC

nên ΔBEC cân tại B

Ta có: ΔBEC cân tại B

mà BH là đường cao

nên BH là trung trực của EC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra B,M,H thẳng hàng