Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
✔ ✔ ✔

Cho \(a,b,c\) là các số thực thỏa mãn \(0\le a,b,c\le2\) và \(a+b+c=3\)

Chứng minh \(3\le a^3+b^3+c^3-3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le9\)

NL (Ngoài Lề): Xin nick \(Discord\), aicos thì cho nka \(:333\)

Trần Tuấn Hoàng
24 tháng 6 2022 lúc 20:05

Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(=3^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(=27-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

Áp dụng BĐT Caushy ta có:

\(A=27-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge27-3.\left[\dfrac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{3}\right]^3-3\left[\dfrac{\left(a-1\right)+\left(b-1\right)+\left(c-1\right)}{3}\right]^3=27-3.\left[\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right]^3-3\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)-3}{3}\right]^3=27-3.\left(\dfrac{2.3}{3}\right)^3-3\left(\dfrac{3-3}{3}\right)^3=3\)\(\Rightarrow A\ge3\left(1\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\).

___________________________

Theo đề ta có: \(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc+8\ge0\)

\(\Rightarrow-4.3+2\left(ab+bc+ca\right)-abc+8\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-abc-4\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-abc-4\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le\left(a+b+c\right)^2-4-abc=3^3-4-abc=5-abc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le5\) (do \(abc\ge0\))

\(A=a^3+b^3+c^3-3\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-3\left[\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)+abc-1\right]\)

\(=3.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-3\left[3-\left(ab+bc+ca\right)+abc-1\right]\)

\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(ab+bc+ca\right)+3\left(ab+bc+ca\right)-3abc-6\)

\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-3abc-6\le3.5-3.0-6=9\)

\(\Rightarrow A\le9\left(2\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(0,1,2\right)\) và các hoán vị.

Từ (1), (2) suy ra: \(3\le A\le9\Rightarrowđpcm\)

 

 

 

 


Các câu hỏi tương tự
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Võ Thị Kim Dung
Xem chi tiết
Muốn đỗ chuyên Toán
Xem chi tiết
Muốn đỗ chuyên Toán
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Anh
Xem chi tiết
em ơi
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết