Question

Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 3 Cmr √a + √b + √c ≥ ab+ bc + ca

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a$

$\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\geq 3\sqrt[3]{b^3}=3b$

$\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\geq 3\sqrt[3]{c^3}=3c$

Cộng theo vế 2 BĐT trên thu được:

$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)=(a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$