Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tiếng anh123456

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR: abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8

meme
20 tháng 8 2023 lúc 9:52

Để chứng minh rằng biểu thức abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a, b, c ta có: (a + b + c)/3 >= (abc)^(1/3)

Vì a + b + c = 3, ta có: 3/3 >= (abc)^(1/3) 1 >= (abc)^(1/3) 1^3 >= abc 1 >= abc

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (1 + a^2), (1 + b^2), (1 + c^2) ta có: (1 + a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3)

Vì a^2 + b^2 + c^2 >= 3 (bằng với bất đẳng thức Tchebyshev), ta có: (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 1 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) 1^3 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) 1 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1 * 1 = 1

Do đó, khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, ta có abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1, và vì 1 nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3.


Các câu hỏi tương tự
Tran nam khanh ly
Xem chi tiết
Hải Anh
Xem chi tiết
Luong Thi Quynh Trang
Xem chi tiết
Hoàng Anh Phương
Xem chi tiết
Long123
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Thi
Xem chi tiết
Minh Nguyễn Cao
Xem chi tiết
Trang Huyen Trinh
Xem chi tiết
nguyễn danh bảo
Xem chi tiết