Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngô Thị Phương Thảo

Cho a,b,c dương \(\left(a+b+c=1\right)\)

Tìm GTLN \(A=\dfrac{\left(ab\right)}{c+1}+\dfrac{\left(bc\right)}{a+1}+\dfrac{\left(ac\right)}{b+1}\)

Ngô Thanh Sang
1 tháng 9 2017 lúc 10:13

BĐT cơ bản

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\dfrac{ab}{c+1}=ab\dfrac{1}{c+a+b+c}=ab\dfrac{1}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{ab}{4}\left[\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}\right]\)

\(\dfrac{bc}{a+1}=bc\dfrac{1}{a+a+b+c}=bc\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{bc}{4}\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right]\)

\(\dfrac{ac}{b+1}=ac\dfrac{1}{b+a+b+c}=ac\dfrac{1}{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{ac}{4}\left[\dfrac{1}{b+a}+\dfrac{1}{b+c}\right]\)

Công lại:

\(A\le\left[\dfrac{ab+bc}{4\left(c+a\right)}+\dfrac{ab+ac}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{bc+ac}{4\left(b+a\right)}\right]\)

\(A\le\left[\dfrac{b\left(a+c\right)}{4\left(c+a\right)}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(b+a\right)}{4\left(b+a\right)}\right]\)

\(A\le\left[\dfrac{b}{4}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{c}{4}\right]\)

\(A\le\dfrac{b+a+c}{4}=\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Xong rồi đó mỏi cái lưng

Phương Trâm
1 tháng 9 2017 lúc 9:46

Áp dụng BĐT Cauchy cho từng cặp số:

\(\dfrac{ab}{c+1}=\dfrac{bc}{a+1}\); \(\dfrac{bc}{a+1}=\dfrac{ca}{b+1}\) ; \(\dfrac{ac}{b+1}=\dfrac{ab}{c+1}\)

Kết quả cuối cùng là \(VT\ge a+b+c=1\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Không chắc :v

Hung nguyen
1 tháng 9 2017 lúc 10:08

Ta có:

\(A=\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1}\)

\(=\dfrac{ab}{c+a+c+b}+\dfrac{bc}{a+b+a+c}+\dfrac{ca}{b+a+b+c}\)

\(\le\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left[\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{bc}{c+a}\right)+\left(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ca}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{4}.\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Ngô Thị Phương Thảo
1 tháng 9 2017 lúc 9:54

Các bạn tl giùm đi bài này quyết định số phận của mk ( mk sẽ nói các bạn tick 2 GP cho bạn tl đúng )

Hà Nam Phan Đình
1 tháng 9 2017 lúc 11:25

Ta có \(A=ab-\dfrac{abc}{c+1}+bc-\dfrac{abc}{a+1}+ac-\dfrac{abc}{b+1}\)

\(=ab+bc+ac-abc\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)

Áp dụng BĐT : \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\) (1)

Áp dụng BDT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{9}{a+b+c+3}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow-\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\le\dfrac{-9}{4}\)

Áp dụng BDT Cô si : \(\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\dfrac{1}{27}\)

\(\Rightarrow-abc\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\le\dfrac{-9}{4}.\dfrac{1}{27}=\dfrac{-1}{12}\) (2)

Cộng hai vế BDT (1) và (2) ta được

\(ab+bc+ac-abc\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\le\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow MinA=\dfrac{1}{4}\) tại \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Anh Pha
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
GG boylee
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
Xem chi tiết
Linh Le Thuy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết