Bài này đăng nhiều trên OLM rồi, lời giải vắn tắt:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a}{1+b^2}=\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{ab^2}{1+b^2}\)
\(\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{ab}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)(bđt cô - si)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng từng vế của các bđt trên:
\(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Dễ c/m: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)
\(BĐT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
hay \(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\frac{3}{2}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))
๖²⁴ʱČøøℓ ɮøү ²к⁷༉ chả khác gì cách tui:v
