Giả sử\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{xy+1}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{xy+1}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(xy+1\right)}+\frac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(xy+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(xy+1\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(xy+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(xy+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[-x\left(1+y^2\right)+y\left(1+x^2\right)\right]\ge0\) Do x;y>1
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\) (BĐT đúng do x;y>1)
Vậy............
chuyển vế qua biến đổi tương đương tách 2/1+ab ra là 1/1+ab +1/1+ab
Nếu biến đổi theo kiểu đó khó thì làm như này:
Bất đẳng thức chứng minh tương đương với \(\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
