Question

cho a,b>0 và \(a^2+b^2=a+b\). tìm GTNN của \(P=a^4+b^4+\dfrac{2020}{\left(a+b\right)^2}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM: 

$(a^2+b^2)^2=(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)\Rightarrow a^2+b^2\leq 2$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(P=a^4+b^4+\frac{2020}{(a^2+b^2)^2}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}+\frac{2020}{(a^2+b^2)^2}\). Ta có:

\(\frac{(a^2+b^2)^2}{2}+\frac{8}{(a^2+b^2)^2}\geq 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^2}{2}.\frac{8}{(a^2+b^2)^2}}=4\)

\(\frac{2012}{(a^2+b^2)^2}\geq \frac{2012}{2^2}=503\) do $a^2+b^2\leq 2$

Do đó: $P\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}+\frac{2020}{(a^2+b^2)^2}\geq 4+503=507$

Vậy $P_{\min}=507$. Giá trị này đạt tại $a=b=1$