Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM (Cô-si) ta có:
\(\frac{a^4}{b^2(c+a)}+\frac{c+a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{b^2(c+a)}.\frac{c+a}{4}.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}}=2a\)
Tương tự:
\(\frac{b^4}{c^2(a+b)}+\frac{a+b}{4}+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}\geq 2b\)
\(\frac{c^4}{a^2(b+c)}+\frac{b+c}{4}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\geq 2c\)
Cộng các BĐT đã thu được theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^4}{b^2(a+c)}+\frac{b^4}{c^2(a+b)}+\frac{c^4}{a^2(b+c)}+\frac{3}{2}(a+b+c)\geq 2(a+b+c)\)
hay \(\frac{a^4}{b^2(a+c)}+\frac{b^4}{c^2(a+b)}+\frac{c^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)