Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1 . Tìm GTNN của A =\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)

Khôi Bùi
24 tháng 3 2019 lúc 10:52

Do a ; b > 0 , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương , ta có :

\(A=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge2\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Rightarrow2\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\right]\ge\left(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow2A\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)

Vì a ; b > 0 \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow2A\ge\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2=\left(1+4\right)^2=25\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{25}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
mr. killer
Xem chi tiết
Lê Thị Thế Ngọc
Xem chi tiết
Đinh Tuấn Việt
Xem chi tiết
✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Hoàng Diệu Anh
Xem chi tiết
Thùy Linh
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Trần Quý
Xem chi tiết