Question

Cho a,b,c là 3 số nguyên khác 0 thỏa mãn:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\).CMR:\(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)là số chính phương

Answer 1

Lời giải:
Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\Rightarrow ab+bc+ac=1\)

Khi đó:

\(1+a^2=ab+bc+ac+a^2=(ab+a^2)+(bc+ac)=(a+b)(a+c)\)

\(1+b^2=ab+bc+ac+b^2=(ab+b^2)+(bc+ac)=(b+a)(b+c)\)

\(1+c^2=ab+bc+ac+c^2=(ab+bc)+(ac+c^2)=(c+a)(c+b)\)

\(\Rightarrow (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)\)

\(=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\) là số chính phương với mọi $a,b,c$ nguyên khác không.